Question

已知函數(shù)f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）a=e時，求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若f′（x）≤x²對任意的x＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)g(x)=

f(x)

x

，若x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，求證：x1x2＜(x1+x2)4．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=e時，求導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，可求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，f′（x）≤x²對任意的x＞0恒成立，等價于2xln（ax）+x≤x²對任意的x＞0恒成立，即2ln（ax）+1≤x對任意的x＞0恒成立，構(gòu)造u（x）=2ln（ax）+1-x，求最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）函數(shù)g（x）在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，可得g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁，即lnx₁＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），相加，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：a=e時，f（x）=x²ln（ex）（a＞0）
∴f（1）=1，f′（x）=2xln（ex）+x，
∴f′（1）=3，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），極3x-y-2=0；
（2）解：f′（x）=2xln（ax）+x，
∵f′（x）≤x²對任意的x＞0恒成立，
∴2xln（ax）+x≤x²對任意的x＞0恒成立，即2ln（ax）+1≤x對任意的x＞0恒成立，
設(shè)u（x）=2ln（ax）+1-x，則u′（x）=

2

x

-1=0，∴x=2，
x＞2時，u′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，0＜x＜2時，u′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=2時，u（x）有最大值u（2），
∴u（2）=2ln2a-1≤0，
∴0＜a≤

e

2

；
（3）證明：當(dāng)a=1時，設(shè)函數(shù)g(x)=

f(x)

x

=xlnx，
∴g′（x）=1+lnx=0，∴x=

1

e

，
∴函數(shù)在（0，

1

e

）上單調(diào)遞減，在（

1

e

，+∞）上單調(diào)遞增，
∵x1，x2∈(

1

e

，1)，x1+x2＜1，
∴g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）ln（x₁+x₂）＞g（x₁）=x₁lnx₁，
即lnx₁＜

x1+x2

x1

ln（x₁+x₂），
同理lnx₂＜

x1+x2

x2

ln（x₁+x₂），
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂＜（

x1+x2

x1

+

x1+x2

x2

）ln（x₁+x₂）=（2+

x1

x2

+

x2

x1

）ln（x₁+x₂），
∵2+

x1

x2

+

x2

x1

≥4，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂＜4ln（x₁+x₂），
∴l(xiāng)nx₁x₂＜ln（x₁+x₂）⁴，
∴x1x2＜(x1+x2)4．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．