Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=

an+1，n為奇數 -2an，n為偶數

，且a₁=1，設b_n=a_2n+2-a_2n，則數列{b_n}的通項公式為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由{a_n}的遞推關系，算出a_2n+2=-2a_2n+1，從而得到b_n=-3a_2n+1，進而有b_n+1=6a_2n-2=-2b_n，所以{b_n}構成首項是-5，公比為-2的等比數列，根據等比數列通項公式可算出數列{b_n}的通項公式．

解答： 解：根據題意，得a_2n+2=a_2n+1+1=-2a_2n+1，
∴b_n=a_2n+2-a_2n=-3a_2n+1，
從而b_n+1=-3a_2n+2+1=-3（-2a_2n+1）+1=6a_2n-2，
∴b_n+1=-2b_n，
a₂=a₁₊₁=a₁+1=2，a₄=-2a₂+1=-3
∴可得{b_n}構成首項b₁=a₄-a₂=-5，公比為-2的等比數列，
因此，數列{b_n}的通項公式為b_n=-5（-2）^n-1．
故答案為：b_n=-5（-2）^n-1．

點評：本題給出數列{a_n}遞推式，求數列b_n=a_2n+2-a_2n的通項公式，著重考查了數列遞推關系和等比數列的通項公式等知識，屬于中檔題．