Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的
中點．
（Ⅰ）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，點M在線段PC上，試
確定點M的位置，使二面角M-BQ-C大小為60°，并求出

PM

PC

的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）由已知條件推導出PQ⊥AD，BQ⊥AD，從而得到AD⊥平面PQB，由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．
（ II）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．

解答： （I）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系如圖．
則由題意知：Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），
設

PM

=λ

PC

（0＜λ＜1），則M(-2λ，

3

λ，

3

(1-λ))，
平面CBQ的一個法向量是

n1

=（0，0，1），
設平面MQB的一個法向量為

n2

=（x，y，z），
則

QM • n2 =-2λx+ 3 λy+ 3 (1-λ)z=0 QB = 3 λy=0

，
取

n2

=(

3-3λ

2λ

，0，

3

)，（9分）
∵二面角M-BQ-C大小為60°，
∴

1

2

=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

| 3 |

1× ( 3-3λ 2λ )2+3

，
解得λ=

1

3

，此時

PM

PC

=

1

3

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．