Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．梯形ABCD所在平面外有一點P，滿足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并證明；若不存在請說明理由；
【理】（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（I）由已知易得，AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，分別求出各頂點的坐標，然后求出直線CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（II）設側棱PA的中點是E，我們求出直線BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判斷及得E點符合題目要求；
（III）求現(xiàn)平面APD的一個法向量及平面PCD的一個法向量，然后代入向量夾角公式，即可求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： 解：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵側面PAD⊥底面ABCD，且側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD．
又∵∠BAD=90°，∴AB，AD，AP兩兩垂直．
分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖．
設AD=2，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）證明：

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），

CD

=（-1，1，0），
∴

AP

•

CD

=0，

AC

•

CD

=0，
∴AP⊥CD，AC⊥CD．
又∵AP∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）設側棱PA的中點是E，則E（0，0，

1

2

），
則

BE

=（-1，0，

1

2

）．
設平面PCD的一個法向量是

n

=（x，y，z），則

n • CD =0 n • PD =0

，
∵

CD

=（-1，1，0），

PD

=（0，2，-1），
∴

-x+y=0 2x-z=0

，取x=1，則

n

=（1，1，2）．
∴

n

•

BE

=-1+0+1=0，

n

⊥

BE

，
∵BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD．（8分）
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，∴

AB

為平面PAD的一個法向量．
由（Ⅱ）知，

n

=（1，1，2）為平面PCD的一個法向量．
設二面角A-PD-C的大小為θ，由圖可知，θ為銳角，
∴cosθ=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

6

．
即二面角A-PD-C的余弦值為

6

6

．（13分）

點評：利用空間向量來解決立體幾何夾角問題，其步驟是：建立空間直角坐標系⇒明確相關點的坐標⇒明確相關向量的坐標⇒通過空間向量的坐標運算求解．