Question

【題目】(1)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)，函數(shù)有最小值，設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】(1) 1；(2).

【解析】試題分析：（1）研究函數(shù)的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在性定理，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2），由(1)知，在時(shí)單調(diào)遞增，因此，存在唯一，使得，因此在處取得最小值.

, 于是，進(jìn)而求值域即可.

試題解析：

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

故.

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，即，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，，

又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，得

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

(2)，

則，由(1)知，在時(shí)單調(diào)遞增，

對(duì)任意，，，

因此，存在唯一，使得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

因此在處取得最小值.

,

,

于是，

由，

得在單調(diào)遞減，

所以，由，得，

，

因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，

對(duì)任意，存在唯一的，，使得，

所以的值域是.

綜上，當(dāng)，函數(shù)有最小值.

的值域是.