Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=3，a_nb_n=2，b_n+1=a_n（b_n-

2

1+an

），n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=2a_n-5，對于任意給定的正整數(shù)p，是否存在正整數(shù)q，r（p＜q＜r），使得

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差數(shù)列？若存在，試用p表示q，r；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出b_n+1=a_nb_n-

2an

1+an

=

2bn

bn+2

，由此能證明{

1

bn

}是等差數(shù)列，并能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）由a_n=n+2，得以c_n=2a_n-5=2n-1，由此推導出當p=1時，不存在q，r滿足題設(shè)條件；當p≥2時，存在q=2p-1，r=4p²-5p+2，滿足題設(shè)條件．

解答： （1）證明：∵a_nb_n=2，∴an=

2

bn

，
則b_n+1=a_nb_n-

2an

1+an

=2-

4 bn

1+ 2 bn

=2-

4

bn+2

=

2bn

bn+2

，…（2分）
∴

1

bn+1

=

1

bn

+

1

2

，
又a₁=3，∴b1=

2

3

，
∴{

1

bn

}是首項為

3

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，…（4分）
即

1

bn

=

3

2

+(n-1)×

1

2

=

n+2

2

，∴bn=

2

n+2

．…（6分）
（2）解：由（1）知a_n=n+2，∴c_n=2a_n-5=2n-1，
①當p=1時，c_p=c₁=1，c_q=2q-1，c_r=2r-1，
若

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差數(shù)列，則

2

2q-1

=1+

1

2r-1

（*），
∵p＜q＜r，∴q≥2，r≥3，

2

2q-1

＜1，1+

1

2r-1

＞1，
∴（*）不成立．…（9分）
②當p≥2時，若

1

cp

，

1

cq

，

1

cr

成等差數(shù)列，
則

2

2q-1

=

1

2p-1

+

1

2r-1

，
∴

1

2r-1

=

2

2q-1

-

1

2p-1

=

4p-2q-1

(2p-1)(2q-1)

，
即2r-1=

(2p-1)(2q-1)

4q-2p-1

，∴r=

2pq+p-2q

4p-2q-1

，…（12分）
欲滿足題設(shè)條件，只需q=2p-1，此時r=4p²-5p+2，…（14分）
∵p≥2，∴q=2p-1＞p，r-q=4p²-7p+3=4（p-1）²+p-1＞0，
即r＞q．                                        …（15分）
綜上所述，當p=1時，不存在q，r滿足題設(shè)條件；
當p≥2時，存在q=2p-1，r=4p²-5p+2，滿足題設(shè)條件．…（16分）

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查使得數(shù)列為等差數(shù)列的正整數(shù)是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．