設(shè)函數(shù)f（x）=
x2+1
-ax，當(dāng)a∈[1，+∞）時(shí)，試證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f′（x）=
x
x2+1
-a得f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，即可得證．
解答： 證明：∵f（x）=
x2+1
-ax，
∴f′（x）=
x
x2+1
-a=
x-a
x2+1
x2+1

∵a∈[1，+∞），x∈[0，+∞），∴
x-a
x2+1
x2+1
＜
x-a
x2
x2+1
=
(1-a)x
x2+1
＜0
∴f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，
∴當(dāng)a∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)單調(diào)性的證明方法有定義法和導(dǎo)數(shù)法，本題采用導(dǎo)數(shù)法證明較好．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=3，anbn=2，bn+1=an（bn-
2
1+an
），n∈N*．
（1）求證：數(shù)列{
1
bn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=2an-5，對(duì)于任意給定的正整數(shù)p，是否存在正整數(shù)q，r（p＜q＜r），使得
1
cp
，
1
cq
，
1
cr
成等差數(shù)列？若存在，試用p表示q，r；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，設(shè)A（2，4）是拋物線C：y=x2上的一點(diǎn)．
（1）求該拋物線在點(diǎn)A處的切線l的方程；
（2）求曲線C、直線l和x軸所圍成的圖形的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2
sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin（
π
2
+φ）（0＜φ＜
π
2
），且函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（
π
4
，
1
4
）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
2
3
，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線l與圓C：x2+y2+2x-4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l方程
（2）若弦AB=2
7
，求圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=(m2-m-1)xm2-2m-2是冪函數(shù)，且在x∈（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)則排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
，…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
…，則a15=
 
；若存在正整數(shù)k，使Sk-1＜10，Sk＞10，則ak=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在60°的二面角α-l-β內(nèi)取點(diǎn)A，在半平面α，β中分別任取點(diǎn)B，C．若A到棱l的距離為d，則△ABC的周長(zhǎng)的最小值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求由y=4-x2與直線y=2x-4所圍成圖形的面積．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案