Question

（2010•撫州模擬）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f(x)=

xe-x2+ax，x∈(0，1) 2x-1，x∈[1，+∞)

，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處連續(xù)，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）為（0，1）上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并判斷此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是否為單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由于f（1）=1，且

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(xe-x2+ax)=ea-1，又根據(jù)f（x）在點(diǎn)x=1處連續(xù)，即可求出a值．
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)=xe-x2+ax，利用 f′(x)=e-x2+ax＞0，

lim

x→0+

(-2x2+ax+1)=1＞0
從而得出f（x）在（0，1）上必為增函數(shù)，得出-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立，結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性即可求得a的范圍．再對(duì)a分類(lèi)討論研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)的結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（1）=1，
且

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(xe-x2+ax)=ea-1，
又已知f（x）在點(diǎn)x=1處連續(xù)，
∴

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1+

f(x)=1，
∴e^a-1=1，
∴a=1．（4分）
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)=xe-x2+ax．此時(shí)，

f′(x)=e-x2+ax+xe-x2+ax(-2x+a) =(-2x2+ax+1)e-x2+ax，

∵f′(x)=e-x2+ax＞0，

lim

x→0+

(-2x2+ax+1)=1＞0
∴f′（x）不可能在（0，1）上恒小于0，故f（x）在（0，1）上必為增函數(shù)，
∴-2x²+ax+1＞0在（0，1）上恒成立．
?a＞

2x2-1

x

=2x-

1

x

在（0，1）上恒成立．（8分）
設(shè)u(x)=2x-

1

x

，x∈(0，1)，
∵u（x）在（0，1）上是增函數(shù)，u（x）在（0，1]上的最大值為u（1）=1，
且u（x）在（0，1]上連續(xù)，
故有a≥1．（10分）
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(x-x2+ax)=e^a-1＞1=f（1），
故此時(shí)f（x）在（0，+∞）上不是增函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的連續(xù)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．