Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時，的值域是，試求實數(shù)的值；

（2）設(shè)關(guān)于的方程的兩個實根為；試問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，或.

【解析】

（1）通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由函數(shù)最小值列出方程解出的值；（2）化簡，利用韋達(dá)定理求出，則問題等價于：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意及恒成立，設(shè)，根據(jù)的范圍可得的最大值，代入不等式，將其看作關(guān)于的一次函數(shù)，再討論求出的取值范圍即得.

（1）由題，，

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增，故，解得：.

當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

則在處取得最小值，故，，無解.

綜上，.

（2）由題得，，化簡整理得.

，方程有兩個非零實根，

可得，則有==，

本題等價于是否存在，使不等式

——①

對任意，恒成立.

把看作關(guān)于的函數(shù)，則①式等價于

——②

，，從而②式轉(zhuǎn)化為

3，

即——③

對恒成立，

把③式的左邊看作的函數(shù)，記=，

若，③式顯然不成立；

若，是的一次函數(shù)，要使對恒成立，只要和同時成立即可，解不等式組

，

得或.

故存在實數(shù)，使不等式對任意，恒成立，其取值范圍是或.