Question

（文）已知函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=kx+b（k，b∈R）的圖象交于P，Q兩點，曲線y=f（x）在P，Q兩點處的切線交于點A．
（1）當(dāng)k=e，b=-3時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；（e為自然常數(shù)）
（2）若A（

e

e-1

，

1

e-1

），求實數(shù)k，b的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）構(gòu)建新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（2）先求出切線方程，代入A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出P，Q的坐標(biāo)，即可求實數(shù)k，b的值．

解答： 解：（1）設(shè)h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ex+3（x＞0），
則h（x）=

1

x

-e當(dāng)0＜x＜

1

e

時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞

1

e

時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)．
所以函數(shù)h（x）的增區(qū)間為（0，

1

e

），減區(qū)間為（

1

e

，+∞）．
（2）設(shè)過點A的直線l與函數(shù)f（x）=lnx切于點（x₀，lnx₀），則其斜率k=

1

x0

，
故切線l：y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀），
將點A代入直線l方程得：

1

e-1

-lnx₀=

1

x0

（

e

e-1

-x₀），
即

e-1

e

lnx₀+

1

x0

-1=0，
設(shè)v（x）=

e-1

e

lnx+

1

x

-1，則v′（x）=

e-1

ex2

（x-

e

e-1

），
當(dāng)0＜x＜

e

e-1

時，v′（x）＜0，函數(shù)v（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x＞

e

e-1

時，v′（x）＞0，函數(shù)v（x）為增函數(shù)．
故方程v（x）=0至多有兩個實根，
又v（1）=v（e）=0，所以方程v（x）=0的兩個實根為1和e，
故P（1，0），Q（e，1），
所以k=

1

e-1

，b=

1

1-e

為所求．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用導(dǎo)數(shù)知識．