Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，且S=

3

4

（b²+c²-a²）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角形的面積公式S=

1

2

bcsinA，根據(jù)余弦定理，求出tanA，根據(jù)A的范圍利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到A的度數(shù)；
（Ⅱ）求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍，法一：利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，可求；法二：利用正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可求．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知

1

2

bcsinA=

3

4

•2bccosA，
所以tanA=

3

，
所以A=

π

3

…（4分）
（Ⅱ）法一：由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6
由余弦定理得：36=b2+c2-2bccos

π

3

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立）
∴（（b+c）²≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，
從而周長(zhǎng)的取值范圍是（12，18]…（12分）
法二：由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

6

sin π 3

=4

3

∴b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，
∴b+c=4

3

（sinB+sinC）=4

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]
=4

3

(

3

2

sinB+

3

2

cosB)=12(

3

2

sinB+

1

2

cosB)=12sin(B+

π

6

)．
∵

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

∴6＜12sin(B+

π

6

)≤12，即6＜b+c≤12（當(dāng)且僅當(dāng)B=

π

3

時(shí)，等號(hào)成立）
從而周長(zhǎng)的取值范圍是（12，18]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形的面積公式及余弦定理、正弦定理化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．