Question

（文科）設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+a

x+1

（a≠2）．
（1）用反證法證明：函數(shù)f（x）不可能為偶函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減的充要條件是a＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,反證法與放縮法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)和反證法即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、充分必要條件即可得出．

解答： （1）解：假設(shè)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
則f（-2）=f（2），即

-4+a

-1

=

4+a

3

，解得a=2，
這與a≠2矛盾，
∴函數(shù)f（x）不可能是偶函數(shù)．
（2）證明：∵f(x)=

2x+a

x+1

，（x≠-1）．
∴f′(x)=

2-a

(x+1)2

．
①充分性：當(dāng)a＞2時(shí)，f′(x)=

2-a

(x+1)2

＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減； 
②必要性：當(dāng)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）單調(diào)遞減時(shí)，
有f′(x)=

2-a

(x+1)2

≤0，即a≥2，又a≠2，∴a＞2．
綜合①②知，原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)、反證法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、充分必要條件等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和分類討論的思想方法，屬于難題．