Question

某學(xué)校計(jì)劃在一塊直角三角形ABC的空地上修建一個(gè)占地面積為S的矩形ADEF健身場(chǎng)地，如圖，A=

π

2

，∠ABC=

π

6

，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在斜邊BC上，且點(diǎn)F在AB上，AC=40米，設(shè)AD=x米．
（1）試用x表示S，并求S的取值范圍；
（2）若矩形健身場(chǎng)地面積不小于144

3

平方米，求x的取值范圍；
（3）設(shè)矩形健身場(chǎng)地每平方米的造價(jià)為

37

S

，再把矩形ADEF以外（陰影部分）鋪上草坪，每平方米的造價(jià)為

12

S

，求總造價(jià)T關(guān)于S的函數(shù)T=f（S）；并求出AD的長(zhǎng)使總造價(jià)T最低（不要求求出最低造價(jià)）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得，欲求健身場(chǎng)地占地面積，只須求出圖中矩形的面積即可，再結(jié)合矩形的面積計(jì)算公式求出它們的面積即得，最后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出其范圍；
（2）利用矩形健身場(chǎng)地面積不小于144

3

平方米，建立不等式，即可求x的取值范圍；
（3）求出總造價(jià)，考慮到其中兩項(xiàng)之積為定值，可利用基本不等式求它的最大值，從而解決問題．

解答： 解：（1）在Rt△EDC中，顯然|DC|=40-x，∠ECD=60°
∴|ED|=|DC|tan60°=

3

（40-x），
矩形ADEF的面積S=|AD||AF|=

3

x（40-x），x∈（0，40）
于是0＜S≤400

3

為所求；
（2）∵矩形健身場(chǎng)地面積不小于144

3

平方米，
∴

3

x（40-x）≥144

3

，
∴4≤x≤36；
（3）矩形ADEF健身場(chǎng)地造價(jià)T₁=37

S

又△ABC的面積為800

3

，即草坪造價(jià)T₂=

12

S

（800

3

-S）
由總造價(jià)T=T₁+T₂，∴T=25（

S

+

384 3

S

）≥200

6 3

當(dāng)且僅當(dāng)

S

=

384 3

S

即S=384

3

時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)

3

x（40-x）=384

3

，解得x=16或x=24，
∴選取|AD|的長(zhǎng)為16米或24米時(shí)總造價(jià)T最低．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用、矩形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．