Question

函數(shù)f（x）對(duì)任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m-4）＜3．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，依題意，易證f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，從而可證得f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）依題意，f（3m-4）＜3?f（3m-4）＜f（2），利用f（x）在R上是增函數(shù)即可求得m的取值范圍．

解答： （1）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵x₂-x₁＞0，由x＞0時(shí)，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）解：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵f（3m-4）＜3，
∴f（3m-4）＜f（2），
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m-4＜2，
解得：m＜2．
∴當(dāng)f（4）=5時(shí)，不等式f（3m-4）＜3的解集為：（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想與推理證明能力，屬于中檔題．