Question

已知a，b，c，d是不全為0的實數(shù)，函數(shù)f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d，方程f（x）=0有實根，且f（x）=0的實數(shù)根都是g（f（x））=0的根，反之，g（f（x））=0的實數(shù)根都是f（x）=0的根．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a=3，f（-1）=0，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)x₀是f（x）=0的根，根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法即可求d的值；
（Ⅱ）根據(jù)a=3，f（-1）=0，得到b=c，然后討論c的取值范圍，即可得到結(jié)論．

解答： 解（Ⅰ）設(shè)x₀是f（x）=0的根，那么f（x₀）=0，則x₀是g（f（x））=0的根，則g（f（x₀））=0即g（0）=0，所以d=0．
（Ⅱ）若a=3，f（-1）=0，所以b-c=0，即f（x）=0的根為0和-1，
①當c=0時，則b=0這時f（x）=0的根為一切實數(shù)，而是g（f（x））=0，所以c=0符合要求．
當c≠0時，因為3（cx²+cx）²+c（cx²+cx）+c=0的根不可能為0和-1，所以3（cx²+cx）²+c（cx²+cx）+c必無實數(shù)根，
②當c＞0時，t=cx²+cx=c（x+

1

2

）²-

c

4

≥-

c

4

，即函數(shù)h（t）=3t²+ct+c在t≥-

c

4

，h（t）＞0恒成立，
又h（t）=3t²+ct+c=3（t+

c

6

）²-

c2

12

+c，
所以h（t）_min=h（-

c

6

）＞0，即-

c2

12

+c＞0，所以0＜c＜12；
③當c＜0時，t=cx²+cx=c（x+

1

2

）²-

c

4

≤-

c

4

，
即函數(shù)h（t）=3t²+ct+c在t≤-

c

4

，h（t）＞0恒成立，
又h（t）=3t²+ct+c=3（t+

c

6

）²-

c2

12

+c，
所以h（t）_min=h（-

c

4

）＞0，c²-16c＜0，而c＜0，舍去
綜上，所以0≤c＜12．

點評：本題主要考查函數(shù)根的應(yīng)用，考查學生的運算能力，綜合性較強，注意要對參數(shù)進行分類討論．