Question

拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A．點(diǎn)C在拋物線E上，以為圓心，|CO|為半徑作圓．
（Ⅰ）設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M、N：
（1）如圖，若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；
（2）若|AF|²=|AM|•|AN|，求圓C的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)圓C與準(zhǔn)線l相切時(shí)，切點(diǎn)為Q，求四邊形OFCQ的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）（1）由拋物線的方程表示出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，求出C到準(zhǔn)線的距離，再利用圓中弦長(zhǎng)公式即可求出|MN|的長(zhǎng)；
（2）設(shè)C（

y02

4

，y₀），表示出圓C的方程方程，與拋物線解析式聯(lián)立組成方程組，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），利用韋達(dá)定理表示出y₁y₂，利用|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，解得C的縱坐標(biāo)，從而得到圓心C坐標(biāo)；
（II）|CO|=|CF|=|CQ|且圓C過(guò)點(diǎn)F，即可求四邊形OFCQ的面積．

解答： 解：（I）（1）拋物線E：y²=4x的準(zhǔn)線l：x=-1，
由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，得C（1，2），故C到準(zhǔn)線的距離d=2，又|OC|=

5

，
∴|MN|=2

5-4

=2．
（2）設(shè)C（

y02

4

，y₀），則圓C的方程為（x-

y02

4

）²+（y-y₀）²=

y04

16

+y02，
即x²-

y02

2

x+y²-2y₀y=0，由x=-1得y²-2y₀y+1+

y02

2

=0，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則y₁y₂=1+

y02

2

，△=2y02-4＞0，
由|AF|²=|AM|•|AN|，得|y₁y₂|=4，
∴1+

y02

2

=4，解得y₀=±

6

，此時(shí)△＞0
∴圓心C的坐標(biāo)為（

3

2

，±

6

）；
（Ⅱ）此時(shí)，|CO|=|CF|=|CQ|且圓C過(guò)點(diǎn)F…（13分）
∴SOFCQ=

1

2

•1•

2

+

1

2

(1+

1

2

)•

2

=

5 2

4

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，韋達(dá)定理．其中根據(jù)題意確定出圓心與半徑是解本題的關(guān)鍵．