Question

已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若將f（x）的圖象向右平移一個單位，則得到一個奇函數(shù)的圖象，若f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=（　�。�

• A、0
• B、1
• C、-1
• D、-1004.5

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，由此可以得出函數(shù)的周期為4，再由f（2）=-1求出f（-2）=-1，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（-1）=0，從而可得f（1）=0，求出一個周期上的四個函數(shù)的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值．

解答： 解：由題意f（x）是R上的偶函數(shù)，f（x-1）是R上的奇函數(shù)，
故有 f（-x）=f（x），且f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+1）=-f（x-1）①．
再把①中的x換成x+1，可得f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)的周期是4．
由于f（x）的圖象向右平移一個單位后，則得到一個奇函數(shù)的圖象即f（0-1）=0，即f（-1）=0，
由偶函數(shù)知f（1）=0，由周期性知f（3）=0．
由f（2）=-1得f（-2）=-1，由f（x+1）=-f（x-1），知f（0）=1，故f（4）=1，
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0．
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）]+f（2013）+f（2014）
=0+f（1）+f（2）=0-1=-1，
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性的運用，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期以及一個周期中函數(shù)值的和，然后根據(jù)周期性求出函數(shù)值的和，屬于中檔題．