如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，過的直線交橢圓于兩點， 的周長為8，且面積最大時，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點，證明：點在以為直徑的圓上.

(1) (2)證明過程詳見解析

解析試題分析：
(1)利用橢圓的定義,可以得到三角形ABF2的周長即為2a,則可以得到a的值,由橢圓的對稱性,可以得到為正三角形當且僅當A點在橢圓的短軸端點,此時,則可得到c的值,再根據(jù)a,c,b之間的關系可得到b的值,進而得到橢圓E的方程.
(2)據(jù)題意,直線l與橢圓E相切于點P.設出點P的坐標,利用直線與橢圓相切,聯(lián)立橢圓與直線的方程,判別式為0,即可用點P的坐標表示直線l的斜率,即得到直線l關于P坐標的表達式.聯(lián)立直線l與直線x=4即可求出點Q的坐標,把P,Q的坐標帶入內(nèi)積式,證得即可.
試題解析：
(1)由題得,因為點A,B都在橢圓上,所以根據(jù)橢圓的定義有且,又因為 的周長為8,所以
, 因為橢圓是關于x,y,原點對稱的,所以為正三角形當且僅當為橢圓的短軸定點,則,,故橢圓E的方程為.
(2)由題得,動直線l為橢圓的切線,故不妨設切點,因為直線l的斜率是存在且為,所以,則直線,聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得 ,.則直線l的方程為,聯(lián)立直線l與直線得到點,則
,所以,即點M在以PQ為直徑的圓上.
考點：橢圓 切線 內(nèi)積 圓

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當x0=1-時,切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;
(2)當M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,B重合于O時,中點為O).

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橢圓的離心率為，且經(jīng)過點過坐標原點的直線與均不在坐標軸上，與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

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如圖X15－3所示，已知圓C1：x2＋(y－1)2＝4和拋物線C2：y＝x2－1，過坐標原點O的直線與C2相交于點A，B，定點M的坐標為(0，－1)，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.

(1)求證：MA⊥MB；
(2)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若＝λ，求λ的取值范圍．

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已知命題：方程所表示的曲線為焦點在軸上的橢圓；命題：實數(shù)滿足不等式.
（1）若命題為真，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若命題是命題的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．

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已知橢圓與雙曲線x2－y2＝0有相同的焦點，且離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點P(0，1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若＝2，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，F(xiàn)是橢圓的右焦點，以點F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點，設P是橢圓上的動點，P到橢圓兩焦點的距離之和等于4.

(1)求橢圓和圓的標準方程；
(2)設直線l的方程為x＝4，PM⊥l，垂足為M，是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的焦點分別為和，長軸長為6，設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標

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已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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