Question

14．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$
（1）求目標函數(shù)z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$的最值；
（2）①若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，求a的取值范圍；
②若目標函數(shù)z=ax+2y取最小值時最優(yōu)解無數(shù)多個，求a的取值范圍；
③若目標函數(shù)z=ax+2y取最大值時最優(yōu)解無數(shù)多個，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合求得最優(yōu)解，聯(lián)立方程組得到直接的坐標，代入目標函數(shù)得答案；
（2）化目標函數(shù)z=ax+2y為直線方程$y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$，然后逐一核對三個問題求得滿足條件的a的范圍．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，

（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得B（3，4），
化目標函數(shù)z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$為$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-z$，由圖可知，當直線z=$\frac{1}{2}$x-y+$\frac{1}{2}$分別過A，B時，直線在y軸上的截距分別有最小和最大值，
則z分別有最大和最小值，即z_max=1，z_min=-2；
（2）①若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，即直線$y=-\frac{a}{2}x+\frac{z}{2}$僅過點（1，0）時直線在y軸上的截距最小，
∴$-1＜-\frac{a}{2}＜2$，即-4＜a＜2；
②若目標函數(shù)z=ax+2y取最小值時最優(yōu)解無數(shù)多個，由圖可知，$-\frac{a}{2}=-1$或$-\frac{a}{2}=2$，即a=-4或a=2；
③若目標函數(shù)z=ax+2y取最大值時最優(yōu)解無數(shù)多個，由圖可知，$-\frac{a}{2}=1$，即a=-2．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．