Question

8．若函數(shù)y=f（x），x∈D同時滿足下列條件：
（1）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；
（2）?[m，n]，使x∈[m，n]時，f（x）的值域為[m，n]，則稱此函數(shù)為D內(nèi)的可等射函數(shù)．
若f（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$（a＞1）為可等射函數(shù)，則a的取值范圍為（1，2）．

Answer 1

分析 由f（x）為可等射函數(shù)，得到a^x-xlna+a-3=0有兩個不等實根，令g（x）=a^x-xlna+a-3，求出其導(dǎo)數(shù)后進行分類討論，能夠求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）為可等射函數(shù)，
∴f（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x有兩個不等實根，
即a^x-xlna+a-3=0有兩個不等實根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
當a＞1時，x＞0時，g′（x）＞0，x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
故答案為：（1，2）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和求實數(shù)的取值范圍．構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．