Question

已知a1=0，an+1=

n+1

n

an+

1

n

，n∈N*，求an的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把數(shù)列遞推式兩邊同時(shí)乘以

1

n+1

，得到

an+1

n+1

-

an

n

=

1

n(n+1)

，然后利用累加法求解．

解答： 解：由an+1=

n+1

n

an+

1

n

，得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

n(n+1)

，即

an+1

n+1

-

an

n

=

1

n(n+1)

．
則

a2

2

-

a1

1

=

1

1×2

，

a3

3

-

a2

2

=

1

2×3

，

a4

4

-

a3

3

=

1

3×4

，
…

an

n

-

an-1

n-1

=

1

(n-1)n

 （n≥2）．
累加得：

an

n

-

a1

1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

，
∵a₁=0，
∴an=n(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=n-1．
∴a_n=n-1．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．