Question

已知函數(shù)f（x）對?a，?b滿足f（a+b）=f（a）+f（b），并且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（3）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）賦值法，令a=b=0代入即可求出f（0）；
（2）令a=x，b=-x，代入原式，即可得到f（-x）=-f（x），問題獲證；
（3）比照函數(shù)的單調(diào)性定義，對a，b恰當(dāng)?shù)馁x值，構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁），再判斷符號即可．

解答： 解：（1）令a=b=0，代入f（a+b）=f（a）+f（b），得f（0）=0；
（2）令a=x，b=-x，代入原式，得f（x-x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（3）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（a+b）-f（a）=f（b），
所以，任取x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
因?yàn)閤₂-x₁＞0且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），
所以原函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題第三問研究函數(shù)的單調(diào)性用的是定義法，因此怎樣將定義與給的“f（a+b）=f（a）+f（b），并且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0”有機(jī)結(jié)合起來是解題關(guān)鍵，處理的方法是將單調(diào)性的定義式與給的條件等式進(jìn)行比照，合理賦值，則可打開思路．