Question

過雙曲線上任一點分別作兩條漸近線的平行線，證明：這兩條與漸近線所圍成的平行四邊形的面積為定值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），漸近線方程為l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x，求出平行線PM，PN的方程，求出交點M，及平行線l₁，PN之間的距離，運用平行四邊形的面積公式，化簡整理，再由P在雙曲線上，滿足雙曲線方程，即可得證．

解答： 證明：設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
漸近線方程為l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x，
設(shè)點P（m，n），這兩條平行線與漸近線所圍成的平行四邊形為PMON，
則直線PN：y=

b

a

x+n-

b

a

m，
直線PM：y=-

b

a

x+n+

b

a

m，
由直線l₁和直線PM，解得交點M（

an+bm

2b

，

an+bm

2a

）．
平行線l₁，PN之間的距離為

|n- b a m|

1+ b2 a2

=

|an-bm|

c

，
則平行四邊形的面積為

|an-bm|

c

•

( an+bm 2b )2+( an+mb 2a )2

=

|an-bm|

c

•

|acn+bcm|

2ab

=

|a2n2-b2m2|

2ab

，
由于P在雙曲線上，則

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有b²m²-a²n²=a²b²，
則平行四邊形的面積為

a2b2

2ab

=

ab

2

，即為定值．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)：漸近線方程，考查兩直線平行的位置，以及距離公式，考查運算化簡能力，屬于中檔題．