Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+lnx，
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，求

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1）都成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線垂直的條件，得k=f′（1）=2求出a的值，化簡

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx后利用定積分得幾何意義求值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）在（

1

e

，e）上的極值和最值，根據(jù)f（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有兩個零點，列出不等式組求出a的范圍；
（3）根據(jù)結(jié)論利用分析法構(gòu)造函數(shù)g（x）=2lnx+x²-1，再求出g′（x），判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性和范圍，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)令x=

n+1

n

代入g（x），并建立不等式，再由對數(shù)的運算和累加法得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得，f′（x）=ax+

1

x

，且x＞0，
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，
∴f′（1）=a+1=2，解得a=1，則f（x）=

1

2

x²+lnx，
∴

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

dx=

∫

2 1

1 2 - (x-1)2 2

dx
=

2

2

∫

2 1

1-(x-1)2

dx

∫

2 1

1-(x-1)2

dx的幾何意義表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，
∴

2

2

∫

2 1

1-(x-1)2

dx=

2

2

×

1

4

×π=

2 π

8

，
故

∫

2a a

1 2 +ln(x-1)-f(x-1)

=

2 π

8

；
（2）f′（x）=ax+

1

x

=

ax2+1

x

，
當(dāng)a≥0時，

ax2+1

x

＞0，則f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有兩個零點不成立；
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0得，x=±

- 1 a

，x=-

- 1 a

＜0舍去，
∴當(dāng)x∈(0，

- 1 a

)時，f′（x）＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

- 1 a

)上遞增，
當(dāng)x∈(

- 1 a

，+∞)時，f′（x）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間(

- 1 a

，+∞)上遞減，
當(dāng)x=

- 1 a

時，函數(shù)f（x）取到極大值，也是最大值f（

- 1 a

）=-

1

2

+ln

- 1 a

，
∵函數(shù)f（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有兩個零點，
∴

1 e ＜ - 1 a ＜e - 1 2 +ln - 1 a ＞0 f( 1 e )＜0 f(e)＜0 a＜0

，解得

-e2＜a＜- 1 e2 a＜- 2 e2 a＜2e2 a＞- 1 e

，即-

1

e

＜a＜-

2

e2

，
則實數(shù)a的取值范圍是：（-

1

e

，-

2

e2

）；
（3）設(shè)g（x）=2lnx+x²-1（x＞0），∴g′(x)=

2

x

+2x＞0，
則g（x）=2lnx+x²-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）=2lnx+x²-1在（1，+∞）上是增函數(shù)，則g（x）＞g（1）=0，
令x=

n+1

n

＞1（n為正整數(shù)），代入g（x）=2lnx+x²-1得，
g(

n+1

n

)=2ln

n+1

n

+(

n+1

n

)2-1＞0，
∴(

n+1

n

)2＞1-2ln

n+1

n

=1-2[ln（n+1）-lnn]
分別取n=1，2，3，…，n得：
4＞1-2（ln2-ln1），

9

4

＞1-2（ln3-ln2），

16

9

＞1-2（ln4-ln3），
…，(

n+1

n

)2＞1-2[ln（n+1）-lnn]，
以上n個式子相加得：4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1），
綜上可得，對任意的正整數(shù)n，不等式4+

9

4

+

16

9

…+（

n+1

n

）²＞n-2ln（n+1）都成立．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，定積分的幾何意義，累加法求和，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，同時考查函數(shù)構(gòu)造法證明不等式成立，需要用分析法尋找思路從而構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，注意當(dāng)被積函數(shù)函數(shù)無法利用積分公式時，要利用積分的幾何意義求解，考查學(xué)生的運算能力，運算量較大，綜合性強，難度很大．