Question

【題目】定義上的函數(shù),若滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.

(1)設(shè),判斷在上是否有界函數(shù),若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,并寫(xiě)出的所有上界的值的集合,若不是,也請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)若是,理由見(jiàn)解析,;(2).

【解析】

（1）化簡(jiǎn)，從而可得，即，從而得解；

（2）由題意知在上恒成立，從而可得，再令，則，進(jìn)而可得在上恒成立，從而化為最值問(wèn)題.

(1),則在上是增函數(shù),故

,即,

故,所以是有界函數(shù).

所以,上界滿足,所有上界的集合是.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),

故在上恒成立,即,

所以,(),

所以(),

令,則,

故在上恒成立,

所以,(),

令,則在時(shí)是減函數(shù),

所以;

令,則在時(shí)是增函數(shù),

所以.

所以,實(shí)數(shù)的取值范圍是.