【題目】若方程有實數(shù)根，則稱為函數(shù)的一個不動點.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）當時是否存在不動點？并證明你的結(jié)論；

（2）若，求證有唯一不動點.

【答案】（1）不存在不動點；證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為求方程的根，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，即可容易證明；

（2）根據(jù)不動點的定義，結(jié)合（1）中的思路，即可容易求證.

（1）當時，不存在不動點.

證明：由可得：，

令，，

則，

∵，∴

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以.所以方程無實數(shù)根

故不存在不動點.

（2）當時，，，

則，

再令，∴

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

∴

故當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以.

所以有唯一實數(shù)根，

故有唯一不動點.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點作于點，則下列推理正確的是（ ）

①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）當時，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動點.

（I）求動點對應的參數(shù)從變動到時，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為，是否存在點，使得為線段的中點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝16cosθ.

（1）把曲線C2的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）求C1與C2交點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，則關于函數(shù)有如下四個結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的圖象關于直線對稱；③方程有兩個不等實根；④其中所有正確結(jié)論的編號是_______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)，若方程在區(qū)間(其中為自然對數(shù)的底)上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是（ ）

A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減的函數(shù) D. 先減后增的函數(shù)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高一班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．

1求分數(shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù)；

2求分數(shù)在之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中間矩形的高；

3若要從分數(shù)在之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分數(shù)在之間的概率．

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