Question

已知各項(xiàng)為負(fù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2S_n=a_n-a_n²．
（1）求a_n；
（2）求證：ln

n+1

n

＜-

1

an

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=1，由a₁=S₁，求得首項(xiàng)，再由當(dāng)n＞1時，將n化為n-1，兩式相減，化簡整理即可得到a_n-a_n-1=-1．再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到；
（2）令f（x）=ln（1+x）-x，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極大值，且為最大值，即有l(wèi)n（1+x）≤x，可令x=

1

n

，即可得證．

解答： （1）解：當(dāng)n＞1時，由2S_n=a_n-a_n²．
得2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，
兩式相減得，2（S_n-S_n-1）=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），
即有a_n+a_n-1=-（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
則a_n-a_n-1=-1．
又n=1時，2a₁=2S₁=a₁-a₁²，
解得a₁=-1，
則有a_n=a₁+（n-1）×（-1）=-n；
（2）證明：要證：ln

n+1

n

＜-

1

an

，
即證ln

n+1

n

＜

1

n

，
令f（x）=ln（1+x）-x，
則f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

1+x

，
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
則x=0取得極大值，且為最大值，
則ln（1+x）-x≤0，即有l(wèi)n（1+x）≤x，
可令x=

1

n

，則有l(wèi)n（1+

1

n

）＜

1

n

，
即有l(wèi)n

n+1

n

＜-

1

an

成立．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求最值，屬于中檔題．