Question

已知m、n是三次函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx（a、b∈R）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且m∈（0，1），n∈（1，2），則

b+3

a+2

的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，

  2

  5

  ）∪（1，﹢∞）
• B、（

  2

  5

  ，1）
• C、（-4，3）
• D、（-∞，-4）∪（3，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：函數(shù)有兩個(gè)極值，則f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，即△＞0，又f'（x）=x²+ax+2b，又m∈（0，1），n∈（1，2），推出

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．

b+3

a+2

的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（-2，-3）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域，能求出

b+3

a+2

的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)槿�次函�?shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx有兩個(gè)極值，
則f'（x）=0有兩個(gè)不同的根，
即△＞0，
又f'（x）=x²+ax+2b，且m∈（0，1），n∈（1，2），
所以有

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

．

b+3

a+2

的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到定點(diǎn)A（-2，-3）兩點(diǎn)斜率的取值范圍，
作出可行域如圖：由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)AB時(shí)的斜率為：k=

1+3

-3+2

=-4，
直線經(jīng)過(guò)AD時(shí)的斜率為：k=

0+3

-1+2

=3，
所以

b+3

a+2

∈（-∞，-4）∪（3，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意可行域的合理運(yùn)用．