Question

已知等差數(shù)列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 為其前n 項和，S₅=

35

3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n＜m 對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式，列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a_n．
（2）由b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n- 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出最小正整數(shù)m的值為5．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n }中，a₂+a₆=6，S_n 為其前n項和，S₅=

35

3

，
∴

a1+d+a1+5d=6 5a1+10d= 35 3

，
解得a1=1，d=

2

3

，
∴a_n=

2

3

n+

1

3

．
（2）∵n≥2時，b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n+ 1 3 )( 2 3 n- 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
當n=1時，上式成立，
∴S_n=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

9

2

(1-

1

2n+1

)，
∵

9

2

(1-

1

2n+1

)隨n遞增，且

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

，

9

2

≤m，m∈Z₊，
∴m≥5，∴最小正整數(shù)m的值為5．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查最小的正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．