Question

過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切線，切點(diǎn)為M₁，設(shè)M₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁．又過(guò)點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為M₂，設(shè)M₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂…．依此下去，得到一系列點(diǎn)M₁，M₂，…，M_n，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a₁，a₂，…，a_n，…，構(gòu)成數(shù)列{a_n}．（a₁≠0）．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）若k=2，記，求b₂₀₁₀．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，只需利用已知條件證明是常數(shù)即可，利用通項(xiàng)公式的求法直接求其通項(xiàng)公式；
（2）要證，先驗(yàn)證n=1然后利用二項(xiàng)式定理，采用放縮法證明即可．
（3）若k=2，記，求出b_n=2b_n-1-b_n-2，解得b_n=n+1，然后求b₂₀₁₀．
解答：解：（1）對(duì)y=x^k求導(dǎo)數(shù)，得y^/=kx^k-1，切點(diǎn)是M_n（a_n，a_n^k）的切線方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P（1，0），即0-a₁^k=ka₁^k-1（x-a₁），得a₁=，
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P_n-1（a_n-1，0），即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），得，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=，公比為的等比數(shù)列，且通項(xiàng)公式為．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=，當(dāng)n≥2時(shí)，應(yīng)用二項(xiàng)式定理，．
（3）a_n=2ⁿ，b_n=，設(shè)，
則b_n=2²ⁿ+=c_n-b_n-1．
同理c_n=2²ⁿ+=+=
=4b_n-1-C_n-1．
∴b_n+b_n-1=c_n=4b_n-1-c_n-1=4b_n-1-b_n-1-b_n-2，即b_n=2b_n-1-b_n-2，∴b_n-b_n-1=b_n-1-b_n-2═b₁-b=2-1=1，
故b_n=n+1，∴b₂₀₁₀=2011．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列的證明，數(shù)列的化簡(jiǎn)與構(gòu)造法的應(yīng)用，是本題解題的關(guān)鍵，注意二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．