Question

過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x²（x∈（0，+∞）的切線，切點(diǎn)為M₁，設(shè)M₁在x軸上的投影是點(diǎn)P₁．又過(guò)點(diǎn)P₁作曲線C的切線，切點(diǎn)為M₂，設(shè)M₂在x軸上的投影是點(diǎn)P₂，…．依此下去，得到一系列點(diǎn)M₁，M₂…，M_n，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a₁，a₂，…，a_n，…，構(gòu)成數(shù)列為{a_n}．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）要證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，只需證明數(shù)列{a_n}的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)是常數(shù)即可，可先對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，y=x²在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)處的切線的斜率，求出切線方程，就可找到切點(diǎn)在x軸上的投影的橫坐標(biāo)，再求相鄰橫坐標(biāo)之商，看是否為常數(shù)，就可證出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可．
（2）根據(jù)（1）中所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減求前n項(xiàng)和S_n

解答：解：（1）對(duì)y=x²求導(dǎo)數(shù)，得y'=2x，切點(diǎn)是M_n（a_n，a_n²）的切線方程是y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P（1，0），即0-a₁²=2a₁（1-a₁），得a₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)Pn-1(an-1，0)，即0-

a

2 n

=2an(an-1-an)，得

an

an-1

=2
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=2，公比為2的等比數(shù)列．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2ⁿ，n∈N^*（6分）
（2）∵bn=

n

an

，a_n=2ⁿ，∴bn=

n

2n

S_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

            ①
2S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

   ②
①-②，得-S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

3

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的證明，以及錯(cuò)位相減求和．