Question

（2009•錦州一模）過點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=x²（x＞0）的切線，切點(diǎn)為Q₁，沒Q₁在x軸上的投影是P₁，又過P₁，作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q₂，設(shè)Q₂在x軸上的投影是P₂…，依次下去，得到一系列點(diǎn)Q₁Q₂，…Q_n，設(shè)Q_n的橫坐標(biāo)為a_n．
（I）求a₁的值及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=

an	(an-1)(an+1-1)

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用斜率相等，求出a₁，然后通過求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線的斜率，判斷數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，只需證明數(shù)列{a_n}的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)是常數(shù)即可，可先對y=x²求導(dǎo)數(shù)，y=x²在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)處的切線的斜率，求出切線方程，就可找到切點(diǎn)在x軸上的投影的橫坐標(biāo)，再求相鄰橫坐標(biāo)之商，看是否為常數(shù)，就可證出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式即可．
（II）根據(jù)（I）中所求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和T_n

解答：解：（I）依題意，得P_n（a_n，0）、Q_n（a_n，a_n²），y′=2x，a_n＞0
∴過點(diǎn)Q_n （a_n，a_n²）的切線方程為y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，切線過P（1，0）得a₁=2（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，切線y-a_n²=2a_n（x-a_n）過P_n-1（a_n-1，0）得
0-a_n²=2a_n（a_n-1-a_n），即a_n=2a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列
故a_n=2ⁿ（6分）
（II）b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

（8分）
∴T_n=（1-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=1-

1

2n+1-1

（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與直線的切線的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．