Question

某圓錐曲線有下列信息：
①曲線是軸對稱圖形，且兩坐標軸都是對稱軸；
②焦點在x軸上且焦點到坐標原點的距離為1；
③曲線與坐標軸的交點不是兩個；
④曲線過點A（1，

3

2

）．
（1）判斷該圓錐曲線的類型并求曲線的方程；
（2）點F是改圓錐曲線的焦點，點F′是F關于坐標原點O的對稱點，點P為曲線上的動點，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件知該曲線為焦點在x軸上的橢圓，且2c=2，2a=4，由此能求出圓錐曲線的標準方程．
（2）設P（x₀，y₀），推導出滿足y02=3-

3x02

4

，從而得到|PF|²=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，由此能求出|PF|的取值范圍和|PF|•|PF′|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵該曲線與坐標軸至少有3個交點，
∴該曲線為焦點在x軸上的橢圓，
且2c=2，c=1，（2分）
F₁、F₂分別是該圓錐曲線的左、右焦點，
|AF1|+|AF2|=

22+ 9 4

+

02+ 9 4

=4，
所以2a=4，a=2，b²=4-1=3，（5分）
∴所求圓錐曲線的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（6分）
（2）設P（x₀，y₀），
則滿足

x02

4

+

y02

3

=1，
∴y02=3-

3x02

4

，（-2≤x₀≤2），
|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4，（7分）
由-2≤x₀≤2，
得到|PF|²=（x₀-1）²+3-

3x02

4

=

x02

4

-2x0+4∈[1，9]，
|PF|∈[1，3]，9分
|PF|+|PF′|=2a=4|PF|•|PF′|=|PF|•（4-|PF|）=4|PF|-|PF′|²，
由|PF|∈[1，3]，
知|PF|•|PF′|∈[3，4]，
∴|PF|的取值范圍是[1，3]，|PF|•|PF′|的取值范圍是[3，4]．（13分）

點評：本題考查曲線方程類型的判斷及求法，考查線段的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．