Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為 S_n，滿足a_n+S_n=An²+Bn+1（A≠0）．
（1）若a₁=

3

2

，a₂=

9

4

，求證：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求

B-1

A

的值．

Answer 1

分析：（1）在遞推式中分別取n=1，2，得到兩個(gè)等式，然后代入a₁=

3

2

，a₂=

9

4

得到關(guān)于A，B的二元一次方程，求解A，B的值，把A，B的值代回遞推式，然后取n=n+1得另一遞推式，兩式相減后整理即可得到數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，利用Sn=

(a1+an)n

2

寫(xiě)出其前n項(xiàng)和，代入a_n+S_n=An²+Bn+1后由系數(shù)相等求出A，B，C，則答案可求．

解答：解：（1）由a_n+S_n=An²+Bn+1，
分別令n=1，2代入上式得：

2a1=A+B+1 2a2+a1=4A+2B+1

，
又a₁=

3

2

，a₂=

9

4

，解得

A= 1 2 B= 3 2

．
∴a_n+S_n=

1

2

n²+

3

2

n+1①
an+1+Sn+1=

1

2

(n+1)2+

3

2

(n+1)+1②
②-①得：2a_n+1-a_n=n+2．
則an+1-(n+1)=

1

2

(an-n)．
∵a1-1=

1

2

≠0．
∴數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
∴an-n=

1

2n

，則an=n+

1

2n

；
（2）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴設(shè)a_n=dn+c．
則Sn=

n(d+c+dn+c)

2

=

d

2

n2+(c+

d

2

)n．
∴an+Sn=

d

2

n2+(c+

3d

2

)n+c．
∴A=

d

2

，B=c+

3d

2

，c=1．
則

B-1

A

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了待定系數(shù)法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．