Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ） 記T_n為數(shù)列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對(duì)?n∈N^*恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），變形an+1+1=(an+1)2，兩邊取對(duì)數(shù)可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．即b_n+1=2b_n，可得數(shù)列
{b_n}為等比數(shù)列．
（II）由（I）可得bn=2n-1．于是

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項(xiàng)求和”可得數(shù)列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項(xiàng)和T_n=1-

1

n+1

．對(duì)?n∈N^*恒有1-

1

n+1

＜1，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對(duì)?n∈N^*恒成立，則a-

3

a

-1＞1，解出即可．

解答： （I）證明：∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），
∴an+1+1=(an+1)2，
兩邊取對(duì)數(shù)可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴b_n+1=2b_n，b₁=log₂（a₁+1）=1．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．
（II）解：由（I）可得bn=2n-1．
∴

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∵1-

1

n+1

＜1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對(duì)?n∈N^*恒成立，則a-

3

a

-1＞1，化為

a2-2a-3

a

＞0，∴a（a-3）（a+1）＞0，
解得-1＜a＜0或a＞3．
∴存在實(shí)數(shù)a∈（-1，0）∪（3，+∞），使得不等式T_n＜a-

3

a

-1對(duì)?n∈N^*恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、“取對(duì)數(shù)法”、不等式的解法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．