Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 通項(xiàng)公式為 ．
（Ⅰ）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比較f（n）與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知 ， ， ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；當(dāng)n≥3時(shí)，猜想：f（n）＜1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①由（Ⅰ）當(dāng)n=3時(shí)，f（n）＜1；
②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，f（n）＜1，即 ，那么 = = = ，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＜1．
所以當(dāng)n=1，和n=2時(shí)，f（n）＞1；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＜1
【解析】（1）此問根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算出前n項(xiàng)的和．當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=s2；當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=s4﹣s1=a2+a3；當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=s6﹣s2 ． （2）當(dāng)n=1時(shí)， ≥1．當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）中沒有a1 ， 因此都小于1．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)．