Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且BC=CD=

1

2

AD=1．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=

3

AE，求直線EF和平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）連結(jié)AC，交BE于點(diǎn)M，連結(jié)FM，由已知條件推導(dǎo)出PA∥FM，由此能證明PA∥面BEF．
（2）由題意得CD⊥平面PAD，所以面PDC⊥面PAD，過(guò)點(diǎn)E，作EH⊥PD，連結(jié)FH，則∠EFH為直線EF和平面PDC所成角，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，交BE于點(diǎn)M，連結(jié)FM，
由題意得

AM

MC

=

AE

BC

=

PF

FC

=1，
∴PA∥FM，
又∵FM?平面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．
（2）解：由題意得CD⊥平面PAD，
∴面PDC⊥面PAD，
過(guò)點(diǎn)E，作EH⊥PD，連結(jié)FH，
則有EH⊥平面PDC，
∴∠EFH為直線EF和平面PDC所成角，
∵BC=CD=

1

2

AD=1，∴EH=

3

2

，EF=

5

2

，
∴sin∠EFH=

EH

EF

=

15

5

．
∴直線EF和平面PDC所成角的正弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．