Question

已知函數f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））處的切線斜率為1，g（x）=lnx-f（x），
（1）求a，b之間的關系式；
（2）若關于x的不等式g（x）+ax＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）已知a＞0，且a≠

1

2

，求函數y=g（x）在[1，+∞）上的最大值（用a表示）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由已知函數f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））處的切線斜率為1，可得f′（1）=a-b=1；
（2）若g（x）+ax=lnx-

b

x

＞0恒成立，即lnx＞

b

x

恒成立，即b＜x•lnx恒成立，構造函數h（x）=x•lnx，利用導數法，求出函數的最小值，可得答案．
（3）g′（x）=0，則x=1，或x=

1-a

a

，由a＞0，且a≠

1

2

，分當0＜a＜

1

2

時和當a＞

1

2

時兩種情況分析函數的單調性進而可和函數y=g（x）在[1，+∞）上的最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+

b

x

，
∴f′（x）=a-

b

x2

，
又∵f（x）=ax+

b

x

在（1，f（1））處的切線斜率為1，
∴f′（1）=a-b=1，
（2）∵g（x）=lnx-f（x）=lnx-ax-

b

x

，
若g（x）+ax=lnx-

b

x

＞0恒成立，
即lnx＞

b

x

恒成立，
即b＜x•lnx恒成立，
令h（x）=x•lnx，
則h′（x）=lnx+1，
令h′（x）=0，則x=

1

e

，
當x∈（0，

1

e

）時，h′（x）＜0，此時h（x）單調遞減；
當x∈（

1

e

，+∞）時，h′（x）＞0，此時h（x）單調遞增；
故當x=

1

e

時，h（x）=x•lnx取最小值-

1

e

，
故b＜-

1

e

，
即a-1＜-

1

e

，
即a＜1-

1

e

，
即實數a的取值范圍為（-∞，1-

1

e

），
（3）∵g（x）=lnx-f（x）=lnx-ax-

b

x

，
∴g′（x）=

1

x

-a+

b

x2

=

-ax2+x+b

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

(ax+a-1)(-x+1)

x2

，
令g′（x）=0，則x=1，或x=

1-a

a

∵a＞0，且a≠

1

2

，
當0＜a＜

1

2

時，

1-a

a

＞1，
當x∈[1，

1-a

a

）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，當x∈（

1-a

a

，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
故當x=

1-a

a

時，g（x）取最大值ln

1-a

a

-1，
當a＞

1

2

時，

1-a

a

＜1，
當x∈[1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數，
故當x=1時，g（x）取最大值1-2a

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的極值，利用函數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，是導數部分的綜合應用，難度中檔．