Question

若x²+y²=1，設(shè)z=

1

x2

+

y

x

，則z的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題利用條件將原函數(shù)化成

y

x

的二次函數(shù)，再求出相應(yīng)二次函數(shù)的最小值，得到本題的解．

解答： 解：∵x²+y²=1，
∴z=

1

x2

+

y

x

=

x2+y2

x2

+

y

x

=(

y

x

)2+

y

x

+1．
設(shè)

y

x

=t，
則z=f(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

．
當(dāng)且僅當(dāng)t=-

1

2

，即x=-

2 5

5

，y=

5

5

或x=

2 5

5

，y=-

5

5

時(shí)，z取最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的值域，難點(diǎn)是通過化歸轉(zhuǎn)化，將原函數(shù)化成

y

x

的二次函數(shù)．本題還可以通過三角代換去研究．