Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=2，

AD

•

AB

=

1

3

|

AB

|²
（Ⅰ）求∠BAD的大��；
（Ⅱ）若E為BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，求

AE

•

AF

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出cos∠BAD=

1

2

，從而可得∠BAD的大小；
（Ⅱ）作出如圖所求直角坐標(biāo)系，算出E、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)F（x，y），利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得當(dāng)x=4且y=

3

時(shí)，

AE

•

AF

的最大值為

31

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AD

•

AB

=

1

3

|

AB

|²，
∴

|AD|

•

|AB|

cos∠BAD=

1

3

×32=3，即2×3×cos∠BAD=3，
解得cos∠BAD=

1

2

結(jié)合∠BAD∈[0，π]，可得∠BAD=

π

3

；
（Ⅱ）以AB所在直線為x軸，A為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，
則E（

7

2

，

3

2

），C（4，

3

）
設(shè)F（x，y），根據(jù)題意可得x≤4，y≤

3

∴

AE

•

AF

=

7

2

x+

3

2

y≤

7

2

×4+

3

2

×

3

=

31

2

．
即

AE

•

AF

的最大值等于

31

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平行四邊形中的向量滿足的條件，求∠BAD的大小，并依此求向量數(shù)量積的最值．著重考查了平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算運(yùn)算法則等知識(shí)，屬于中檔題．