【題目】在正三棱柱中, , ,點為的中點.
(I)求證: ;
(II)若點為上的點,且滿足,若二面角的余弦值為,求實數(shù)的值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,則為的中點連接,則,由此能證明平面.
(Ⅱ)過作 于,則 平面,過作 ,垂足為,連,則為二面角的一個平面角.由此利用二面角的余弦值為余弦值為,可求實數(shù)的值.
試題解析:(Ⅰ)證明,連接交于,則為的中點
連接,則,而平面
所以平面;
(Ⅱ)方法一:過作 于,則 平面,過作 ,垂足為,連,則 ,所以為二面角的一個平面角.
設(shè),則,所以,所以
因為, 所以
故
因,故,解得
此時, 點為的中點,所以
方法二:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,過作于,則平面,設(shè),則, , ,所以,
依題意為平面的一個法向量,
設(shè)為平面一個法向量,
則由可得
所以解得,所以
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高一年級學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制,已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi),發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表,規(guī)定: 、、三級為合格等級, 為不合格等級.
百分制 | 分及以上 | 分到分 | 分到分 | 分以下 |
等級 |
為了解該校高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況,從中抽取了名學(xué)生的原始成績作為樣本進行統(tǒng)計,按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示,樣本中分?jǐn)?shù)在分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(1)求和頻率分布直方圖中的的值;
(2)根據(jù)樣本估計總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,若在該校高一學(xué)生任選人,求至少有人成績是合格等級的概率;
(3)在選取的樣本中,從、兩個等級的學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生進行調(diào)研,記表示所抽取的名學(xué)生中為等級的學(xué)生人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1 , a11 , a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n﹣2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(﹣1)=0,f(0)=0,求出函數(shù)f(x)的零點;
(2)若f(x)同時滿足下列條件:①當(dāng)x=﹣1時,函數(shù)f(x)有最小值0,②f(1)=1求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若f(1)≠f(3),證明方程f(x)= [f(1)+f(3)]必有一個實數(shù)根屬于區(qū)間(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以坐標(biāo)原點為原點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)判斷直線與曲線的位置關(guān)系;
(2)過直線上的點作曲線的切線,求切線長的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)
已知橢圓的短軸長為,且與拋物線有共同的焦點,橢圓的左頂點為A,右頂點為,點是橢圓上位于軸上方的動點,直線,與直線分別交于兩點.
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求線段的長度的最小值;
(Ⅲ)在線段的長度取得最小值時,橢圓上是否存在一點,使得的面積為,若存在求出點的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和.
(1)求k的值及f(x)的表達式.
(2)隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】ABCD為正方形,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,則平面PAB與平面PBC,平面PAB與平面PAD的位置關(guān)系是( )
A.平面PAB與平面PAD,PBC垂直
B.它們都分別相交且互相垂直
C.平面PAB與平面PAD垂直,與平面PBC相交但不垂直
D.平面PAB與平面PBC垂直,與平面PAD相交但不垂直
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