Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點(diǎn)（3，2），
（1）求實數(shù)a；
（2）在（1）的條件下，將函數(shù)f（x）的圖象向下平移1個單位，再向左平移a個單位后得到函數(shù)g（x），設(shè)函數(shù)g（x）的反函數(shù)為h（x），求h（x）的解析式；
（3）對于定義在[1，9]的函數(shù)y=h（x），若在其定義域內(nèi)，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=a^x-a+1，知令x=a，則f（a）=2，
所以f（x）恒過定點(diǎn)（a，2），
由題設(shè)得a=3；
（2）由（1）知f（x）=3^x-3+1，
將f（x）的圖象向下平移1個單位，得到m（x）=3^x-3，
再向左平移3個單位，得到g（x）=3^x，
所以函數(shù)g（x）的反函數(shù)h（x）=log₃x．
（3）[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2，即[log₃x+2]²≤+m+2，
所以+2log₃x+2-m≤0，
令t=log₃x，則由x∈[1，9]得t∈[0，2]，
則不等式化為t²+2t+2-m≤0，
不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，等價于t²+2t+2-m≤0恒成立，
因為t²+2t+2-m=（t+1）²+1-m在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以t²+2t+2-m≤2²+2×2+2-m=10-m，
所以10-m≤0，解得m≥10．
故實數(shù)m的取值范圍為：m≥10．
分析：（1）令x=a，則f（a）=2，從而可知f（x）過定點(diǎn)（a，2），再由題設(shè)即可求得a值；
（2）根據(jù)圖象平移規(guī)則：左加右減，上加下減即可求得g（x）表達(dá)式，從而可得h（x）的解析式；
（3）令t=log₃x，則t∈[0，2]，不等式[h（x）+2]²≤h（x²）+m+2 恒成立，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次不等式恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，利用二次函數(shù)的性質(zhì)易求其最值；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)圖象變換及反函數(shù)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，解決恒成立問題的基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決．