Question

【題目】已知的三個頂點(diǎn)，，，其外接圓為.對于線段上的任意一點(diǎn)，

若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的半徑的取值范圍__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：求出直線的方程設(shè)出點(diǎn)P,N的坐標(biāo)，結(jié)合題意得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)都在半徑為的上得到關(guān)于的方程組，將方程組有解轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)處理，進(jìn)而得到關(guān)于的不等式恒成立，利用函數(shù)的知識求得值域后可得故且，再利用線段與圓無公共點(diǎn)，即直線與圓相離可得，于是可求得．

詳解：由題意得直線的方程為．

設(shè)點(diǎn)，

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又都在半徑為的上，

∴，即

∵關(guān)于的方程組有解，即以為圓心為半徑的圓和以為圓心為半徑的圓有公共點(diǎn)，

∴，

又

∴對任意的恒成立．

設(shè)，則有，

故且．

又線段與圓無公共點(diǎn)，

∴對任意的恒成立，

∴．

綜上可得，所以，

即的半徑的取值范圍是．