Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（k-2）x+2k-1．
（1 ）若f（1）=16，函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時g（x）=f（x），（i）求實數(shù)k與g（0）的值；（ii）當x＜0時，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的兩根中，一根屬于區(qū)間（0，1），另一根屬于區(qū)間（1，2），求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）代入解析式，利用去哦函數(shù)的定義，分類討論求解，
（2）依題意得：

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞2

，求解不等式即可．

解答： 解：（1）．由f（1）=16得k=6，
∴f（x）=x²+4x+11，
（i）．由g（x）是R上的奇函數(shù)，
∴g（0）=0，（k=6），
（ii）．依題意知：當x＞0時，g（x）=x²+4x+11；
當x＜0時，則（-x）＞0，由
g（x）=-g（-x）=-[（-x）²+4（-x）+11]=-x²+4x-11．
∴x＜0時，g（x）=-x²+4x-11，
（2）依題意得：

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞2

，

2k-1＞0 1+(k-2)+2k-1＜0 4+2(k-2)+2k-1＞0

，
∴

k＞ 1 2 k＜ 2 3 k＞ 1 4

即

1

2

＜k＜

2

3

；
所以k的取值范圍為（

1

2

，

2

3

），

點評：本題考察了函數(shù)的性質(zhì)，零點的判斷方法，屬于中檔題．