Question

如圖正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱長為1，P為BC中點，Q為線段CC₁上的動點，過A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是

 

．（寫出所有正確命題的編號） 
①當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時，S為四邊形
②當(dāng)CQ=

1

2

時，S為等腰梯形
③當(dāng)CQ=

3

4

時，S與C₁D₁交點R滿足C₁R₁=

1

3

④當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時，S為六邊形
⑤當(dāng)CQ=1時，S的面積為

6

．

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：易知，過點A，P，Q的平面必與面ADA₁，BC₁C相交，且交線平行，據(jù)此，當(dāng)Q為C₁C中點時，截面與面ADD₁交與AD₁，為等腰梯形，據(jù)此可以對①②進行判斷；
連接AP，延長交DC于一點M，再連接MQ并延長其交D₁D于N，連接AN，可見，截面此時不會與面ABB₁相交，據(jù)此判斷③④，
當(dāng)CQ=1時，截面為底為

2

，腰長為

5

2

的等腰梯形，由此可求其面積．判斷⑤．

解答： 解：設(shè)截面與DD₁相交于T，則AT∥PQ，且AT=2PQ⇒DT=2CQ．
對于①，當(dāng)0＜CQ＜

1

2

時，則0＜DT＜1，所以截面S為四邊形，且S為梯形，所以為真．
對于②，當(dāng)CQ=

1

2

時，DT=1，T與D重合，截面S為四邊形APQO₁，所以AP=D₁Q，截面為等腰梯形，所以為真．
對于③，當(dāng)CQ=

3

4

，QC₁=

1

4

，DT=2，D₁T=

1

2

，利用三角形相似解得，C₁R₁=

1

3

，所以為真．
對于④，當(dāng)

3

4

＜CQ＜1時，

3

2

＜DT＜2，截面S與線段A₁D₁，D₁C₁相交，所以四邊形S為五邊形，所以為假．
對于⑤，當(dāng)CQ=1時，Q與C₁重合，截面S與線段A₁D₁相交于中點G，即即為菱形APC₁G，對角線長度為

2

和

3

，S的面積為

6

2

，所以為假，
綜上，選①②③．

點評：此題考查了截面的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用面面平行、面面相交的性質(zhì)確定截面的頂點．