Question

橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過F₁，若△ABF₂的內切圓面積為π，A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  10

  3

• C、

  20

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程求得焦距|F₁F₂|=6，由橢圓的定義算出△ABF₂的周長為4a=20，由圓面積公式算出△ABF₂的內切圓半徑r=1．利用內切圓的性質把△PF₁F₂分割成3個三角形，由三角形的面積公式算出△PF₁F₂的面積等于10，再利用面積相等建立關系式得到關于|y₂-y₁|的等式，解之即可求得|y₂-y₁|的值．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，可得焦點坐標為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）．
根據(jù)橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=10，
∴△ABF₂的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=20
設△ABF₂的內切圓的圓心為I，半徑為r，
由內切圓面積S=πr²=π，解得r=1
∴S△ABF2=S_△ABI+S△AF2I+S△BF2I=

1

2

|AB|r+|AF₂|r+|BF₂|r
=

1

2

（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=

1

2

×20×1=10，
又∵S△ABF2=

1

2

|F₁F₂|•|y₂-y₁|，
∴

1

2

×6×|y₂-y₁|=10，解得|y₂-y₁|=

10

3

．
故選：B

點評：本題給出橢圓的內接三角形的內切圓面積，求|y₂-y₁|的縱坐標．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、三角形的內切圓的性質和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．解決問題的關鍵是熟練掌握橢圓的定義與性質，熟練運用三角形的內切圓的有關知識．