Question

若 P為橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上任意一點，F₁、F₂為左、右焦點，如圖所示．
（1）若PF₁的中點為M，求證：|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）若∠F1PF2=600，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）橢圓上是否存在點P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，求出P點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，根據三角形的中位線定理再結合橢圓的定義即可得出答案；
（2）先利用橢圓的定義得到：|PF₁|+|PF₂|=10，再在△PF₁F₂中利用余弦定理得出cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

，兩者結合即可求得|PF₁|•|PF₂|；
（3）先設點P（x₀，y₀），根據橢圓的性質，易知F₁（-3，0），F₂（3，0），寫出向量的坐標再結合向量垂直的條件得出關于P點坐標的方程組，由此方程組無解，故這樣的點P不存在．

解答：證明：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，
∴|MO|=

|PF2|

2

=

2a-|PF1|

2

=a-

|PF1|

2

=5-

1

2

|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．…（8分）
（3）解：設點P（x₀，y₀），則 

x02

25

+

y02

16

=1．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故

PF1

=（-3-x₀，-y₀），

PF2

=（3-x₀，-y₀），
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴x

2 0

-9+y

2 0

=0，②
由①②組成方程組，此方程組無解，故這樣的點P不存在． …（12分）

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．