如圖,已知在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=ACF為側(cè)棱BB1上一點(diǎn),BF=BC=2aFB1=a.(1)若DBC的中點(diǎn),EAD上不同于A、D的任一點(diǎn),求證:EFFC1;(2)若A1B1=3a,求FC1與平面AA1B1B所成角的大小.

思路解析:E點(diǎn)在AD上變化,EF為平面ADF內(nèi)變化的一組相交直線(都過定點(diǎn)F),要證明C1FEF垂直,必有C1F⊥平面ADF.求FC1與平面ABB1A1所成角的關(guān)鍵是找C1到面ABB1A1的垂線,從而落實(shí)線面成角,在直三棱柱中,側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1給找點(diǎn)C1到面AB1的垂線創(chuàng)造了方便的條件.

(1)證明:∵AB=AC,且D是BC的中點(diǎn),∴ADBC.

又∵在直三棱柱中,BB1⊥平面ABC,∴ADBB1.

AD⊥平面BB1C1C.∴ADC1F.

在矩形BB1C1C中,BF=BC=2a,B1F=a

DF=a,FC1=a,DC1=a.

DF2+FC12=DC12.∴∠DFC1=90°,即FC1DF.

FC1⊥平面ADF.∴FC1EF.

(2)解:過點(diǎn)C1C1HA1B1于點(diǎn)H,

AA1⊥平面A1B1C1,∴AA1C1H.

C1H⊥平面AA1B1B.連結(jié)FH,∠C1FHC1F與平面AB1所成的角.

在等腰△ABC中,AB=AC=3aBC=2a,∴AD=2a.

在等腰△A1B1C1中,由面積相等,可得C1H×3a=2a×2a,∴C1H=a.又C1F=a,

在Rt△C1HF中,sin∠C1FH=,∴∠C1FH=arcsin,

C1F與平面AB1所成的角為arcsin.

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