如圖,已知在直三棱柱ABC- A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB= AA1,D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點。
(1)求證:DE∥平面ABC;
(2)求證:B1F⊥平面AEF;
(3)求二面角B1-AE-F的余弦值。
解:(1)如圖,連接A1E,并延長A1E交AC的延長線于點P,連接BP,
由E為C1C的中點,A1C1∥CP,
可得A1E=EP
∵D,E分別是A1B,A1P的中點,
∴DE∥BP,
又∵BP平面ABC,DE平面ABC,
∴DE∥平面ABC。
(2)∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°
F為BC的中點,
∴BC⊥ AF,
又∵B1B⊥平面ABC,
由三垂線定理可得B1F⊥AF
設(shè)AB=AA1=2,則B1F=,EF=,B1E=3,
∴B1F2+EF2=B1E2
∴B1F⊥EF,
∵AF∩EF=F,
∴B1F⊥平面AEF;
(3)如圖過F作FM⊥AE于點M,連接B1M
∵B1F⊥平面AEF,由三垂線定理可得 B1M⊥AE,
∴∠B1MF為二面角B1-AE-F的平面角
又C1C⊥平面ABC,AF⊥FC,由三垂線定理可得EF⊥AF,
在Rt△AEF中,可求得
在Rt△B1FM中,∠B1FM=90°

∴二面角B1-AE-F的余弦值為。
練習冊系列答案
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π2
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