分析:(Ⅰ)以BA所在的直線為x軸,BC所在的直線為y軸,BB
1所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面AC
1D的一個(gè)法向量,再證明:
•=0即可;
(Ⅱ)求二面角A
1-AD-C
1的大小,只需求兩平面的法向量的夾角即可.
解答:(Ⅰ)證明:以BA所在的直線為x軸,BC所在的直線為y軸,BB
1所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),
A1(1,0,),
C1(0,1,),
D(0,0,),
E(,,0),
=(-1,0,),
=(0,-1,-),
設(shè)平面AC
1D的一個(gè)法向量為
=(x,y,z),
則由
•=0和
•=0⇒-x+z=0,
-y-z=0,
取x=1,y=-1,
z=,所以法向量
=(1,-1,),
又
=(,,0),
•=-+0=0,
因?yàn)?span id="d51zb35" class="MathJye">
?平面AC
1D,所以BE∥平面AC
1D.
(Ⅱ)由(1)可知,平面AC
1D的法向量為
=(1,-1,).
又平面A
1AD的法向量為
=(0,1,0),所以
cos(,)==
-⇒<,>=120°,
由圖可知,所求的二面角為銳角,所以二面角A
1-AD-C
1的大小為60°.
點(diǎn)評:本題以直三棱柱為載體,考查線面平行,考查面面角,關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示向量.